Sea $X$ una variable aleatoria que nos indica la estimación inicial, y sea $Y$ otra variable aleatoria que nos indica la cantidad a pagar a la reclamante.

<aside> 💡 Note que tanto $X$ como $Y$ son variables aleatorias porque, a priori, no sabemos qué ocurrirá en el incendio y por lo tanto esas cantidades pueden considerarse como aleatorias.

</aside>

Por hipótesis del problema, sabemos que la reclamación inicial estimada, es decir, $X$, toma el valor 2. Esto es

$$ \begin{equation}X=2\end{equation} $$

Se nos pide calcular la probabilidad de que la cantidad a pagar por la aseguradora esté entre 1 y 3, es decir

$$ \begin{equation}\mathbb{P}(1<Y<3)\end{equation} $$

Note que esta probabilidad se ve afectada por el hecho de que $X$ tome el valor 2, es decir, tenemos que calcular la probabilidad (2) dado que ocurre (1).

$$ \begin{equation}\mathbb{P}(1<Y<3|X=2)\end{equation} $$

La ecuación (3) corresponde a una función de distribución (a.k.a probabilidad acumulada) condicional. Por definición,

$$ \begin{equation}\mathbb{P}(1<Y<3 | X=2):= \int _{1}^{3} f_Y (y|x=2)dy\end{equation} $$

Es decir, la función de distribución condicional es la integral de la función densidad condicional.

Por definición,

$$ \begin{align*}f_Y(y|x=2) &:= \frac{f_{X,Y}(x=2,y)}{f_X(x=2)} \\ &= \frac{f_{X,Y}(2,y)}{f_X(2)} \end{align*} $$

El denominador es la densidad marginal de $X$.

Por definición

$$ \begin{equation}f_X(x) = \int_{\mathbb{R}}f_{X,Y}(x,y)dy\end{equation} $$

El integrando de la ecuación (5) es la densidad conjunta de $X,Y$ o lo que es lo mismo, del vector aleatorio $(X,Y)$.

Haciendo el cálculo

$$ f_{X,Y}(2,y) = \frac{2}{2^2 (2-1)}y^{-\frac{2(2)-1}{2-1}} = 0.5 y^{-3} $$

$$ f_{X}(2) = \int {-\infty}^{\infty} f(2,y)dy =\int{1}^{\infty}0.5y^{-3}dy = 0.25 $$