Queremos calcular

$$ \mathbb{P}\left(Y<X | X=\frac{1}{3}\right) $$

Note que, dado que la variable aleatoria $X$ toma el valor $\frac{1}{3}$, la expresión anterior es equivalente a

$$ \begin{equation}\mathbb{P}\left(Y < \frac{1}{3} | X=\frac{1}{3}\right) \end{equation} $$

También note que la ecuación 1 es una probabilidad acumulada, es decir es la función de distribución de $Y$ dado $X=\frac{1}{3}$ evaluada en $\frac{1}{3}$. Es decir

$$ \begin{equation}\mathbb{P}\left(Y < \frac{1}{3} | X=\frac{1}{3}\right) := F_{Y|X=\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right) = \int_{-\infty} ^{\frac{1}{3}} f\left(y|x=\frac{1}{3}\right)dy \end{equation} $$

Lo anterior sugiere que encontremos la función de densidad de $Y$ condicionada a que $X=\frac{1}{3}$.

Por definición,

$$ \begin{equation}f\left(y | x=\frac{1}{3}\right) := \frac{f_{X,Y}(\frac{1}{3},y)}{f_X (\frac{1}{3})} \end{equation} $$

Note que como $x=\frac{1}{3}$ y $0<y<1-x$, entonces $0<y<\frac{2}{3}$.

Si $y \notin \left(0, \frac{2}{3}\right)$, entonces $f\left(y | x=\frac{1}{3}\right) =0$.

El denominador de la ecuación 3 es la densidad marginal de $X$ evaluada en un tercio.

$$ \begin{align*}f_X(x) &:= \int {\mathbb{R}}f{X,Y}(x,y)dy \\ &= \int _{0} ^{1-x}24xy dy \\ &= 24x\int {0} ^{1-x}y dy \\ &= 24x \left( \left. \frac{y^2}{2} \right|{0} ^{1-x} \right) \\ &= 12x(1-x)^2\end{align*} $$

Entonces $f_X\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{9}$

De la ecuación 3

$$ \begin{align*}f\left(y | x=\frac{1}{3}\right) &:= \frac{f_{X,Y}(\frac{1}{3},y)}{f_X (\frac{1}{3})}\\ &= \frac{24(\frac{1}{3})y}{\frac{16}{9}} \\ &= 4.5y \end{align*} $$

Note que $sop(f) = \left(0, \frac{2}{3}\right)$

De la ecuación 2

$$ \begin{align*} \mathbb{P}\left(Y < \frac{1}{3} | X=\frac{1}{3}\right) &:= F_{Y,X=\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)\\ &= \int_{-\infty} ^{\frac{1}{3}} f\left(y|x=\frac{1}{3}\right)dy \\ &= \int_{0} ^{\frac{1}{3}} 4.5ydy \\ &=\frac{1}{4} \end{align*} $$

Por lo tanto, la opción 3 es correcta.