Sean $X, Y$ los tiempos de vida de cada uno de los dos componentes del dispositivo de interés.

Considere el evento $A$: “el dispositivo funciona por más de una hora”.

Note que debido a que es necesario que ambos componentes funcionen simultáneamente para que el dispositivo funcione, entonces es equivalente al evento $B:$ “Ambos componentes funcionan por más de una hora”.

Entonces $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(X>1,Y>1)$

Nos interesa

$$ \mathbb{P}(A^c) = 1- \mathbb{P}(A) $$

Es decir, la probabilidad de que el dispositivo falle durante la primera hora de operación, i.e, la probabilidad de que el dispositivo funcione durante menos de una hora.

Entonces

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(A^c) &= 1 - \mathbb{P}(A) \\ &= 1- \mathbb{P}(X>1, Y>1) \\ &= 1- \int_{1}^{\infty}\int_{1}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dxdy \\ &= 1- \int_{1}^{2}\int_{1}^{2}f_{X,Y}(x,y)dxdy \\ &= 1 -\int_{1}^{2}\left(\int_{1}^{2} \frac{x+y}{8}dx\right)dy \\ &= 1- \frac{1}{8}\int_{1}^{2}\left( \left.\frac{x^2}{2}+xy\right|{1}^{2} \right) dy \\ &= 1- \frac{1}{8}\int{1}^{2}\left( 1.5 + y \right) dy \\ &= 1- \frac{1}{8} \left. \left( \frac{3}{2}y + \frac{1}{2}y^2 \right) \right|_{1}^{2} \\ &= 1- 0.375 \\ &= 0.625 \end{align*} $$

Por lo tanto la respuesta correcta es la opción 4.