Sean $N_1$ y $N_2$ el número de reclamos durante la primera y segunda semana, respectivamente.

Note que nos interesa conocer

$$ \mathbb{P}(N_1 + N_2 = 7) $$

es decir, la probabilidad de que en dos semanas haya exactamente 7 reclamos.

Supongamos que durante la primera semana hay $n$ reclamos, donde $n \in \{0,1,2\dots,6,7 \}$.

Para que entre las dos semanas haya 7 reclamos, entonces en la segunda semana debe haber $7-n$ reclamos.

Entonces

$$ \begin{equation}\mathbb{P}(N_1 + N_2 = 7) = \sum _{n=0} ^{7}\mathbb{P}(N_1 = n, N_2 = 7-n)\end{equation} $$

Como los reclamos entre semanas son independientes (i.e $N_1 \perp N_2$), entonces

$$ \begin{equation}\sum _{n=0} ^{7}\mathbb{P}(N_1 = n, N_2 = 7-n) = \sum _{n=0} ^{7}\mathbb{P}(N_1 = n) \mathbb{P}(N_2 = 7-n) \end{equation} $$

Por hipótesis, $N_1$ y $N_2$ son variables aleatorias (independientes e) idénticamente distribuidas, es decir

$$ \mathbb{P}(N_1=k) = \mathbb{P}(N_2 = k) = \frac{1}{2^{k+1}} $$

Usando esto último en la ecuación 1 y 2, obtenemos

$$ \mathbb{P}(N_1 + N_2 = 7) = \sum {n=0} ^{7}\mathbb{P}(N_1 = n) \mathbb{P}(N_2 = 7-n) = \sum{n=0}^{7} \frac{1}{2^{n+1}} \frac{1}{2^{7-n+1}} $$

$$ = \sum_{n=0}^{7} \frac{1}{2^9} = \frac{8}{2^9} = \frac{1}{64} $$

Por lo tanto, la respuesta es la opción 4.