Por hipótesis, para cada $n \in \mathbb{N}$,

$$ p(n+1) = \frac{1}{5}p(n) $$

la cual es equivalente a

$$ p(n) = \frac{1}{5}p(n-1) $$

A su vez, también se cumple que

$$ p(n-1)=\frac{1}{5}p(n-2) $$

Procediendo de manera recursiva, obtenemos

$$ \begin{equation}p(n) = \left(\frac{1}{5}\right)^{n}p(0) \end{equation} $$

Por otro lado, como el soporte de la función de probabilidad es $\mathbb{N}$, entonces debe cumplirse que

$$ \sum _{n\in \mathbb{N}}p(n) = 1 $$

Es decir, si sumamos todas las probabilidades sobre el soporte de $p$, la suma tendrá que ser 1.

Entonces,

$$ 1 = \sum _{n\in \mathbb{N}}p(n) = \sum _{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n}p(0) = p(0)\sum _{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n} $$

Reconocemos la serie anterior como una serie geométrica con razón $r = \frac{1}{5}$. Como $r<1$ la serie converge.

Entonces

$$ 1 = p(0)\sum _{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^{n} = p(0) \frac{1}{1-\frac{1}{5}} $$

Despejando $p(0)$, obtenemos

$$ p(0) = \frac{4}{5} $$

Por lo que la ecuación 1 queda como

$$ \begin{equation}p(n) = \frac{4}{5}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\end{equation} $$