Sea $N$ el número de huracanes que azotan una casa dada en los próximos 10 años. Por hipótesis, sabemos que

$$ N \sim Poisson(\lambda) $$

con media 4, i.e, $\mathbb{E}(N) = \lambda = 4$. También sabemos (véase tabla de distribuciones) que la varianza de $N$ es 4, i.e, $\mathbb{V}ar(N)=4$.

Note que cada huracán provoca cierta pérdida, por lo que si denotamos como $X_i$ la pérdida debida al i-ésimo huracán, entonces la pérdida total es

$$ \begin{equation} X = \sum_{i=1}^{N}X_i \end{equation} $$

Observe que la suma tiene tantos términos como el valor que haya tomado la variable aleatoria $N$.

Por hipótesis sabemos que

$$ X_i \sim exp(\mu) $$

con $\mathbb{E}(X_i) = \frac{1}{\mu} = 1000$ y varianza $\mathbb{V}ar(X_i) = \frac{1}{\mu ^2} = 1,000,000$.

Usaremos la fórmula de varianza condicional para calcular $\mathbb{V}ar(X)$,

$$ \mathbb{V}ar(X) = \mathbb{E}(\mathbb{V}ar(X|N)) + \mathbb{V}ar(\mathbb{E}(X|N)) $$

notando que $X|N$ implica que la suma en (1) llega hasta $N$. Entonces

$$ \begin{align*} \mathbb{V}ar(X) &= \mathbb{E}(\mathbb{V}ar(X|N)) + \mathbb{V}ar(\mathbb{E}(X|N)) \\ &= \mathbb{E}\left(\mathbb{V}ar\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right)\right) + \mathbb{V}ar\left(\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right)\right) \\ &= \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{N}\mathbb{V}ar(X_i)\right) + \mathbb{V}ar\left(\sum_{i=1}^{N}\mathbb{E}(X_i)\right) \\ &= \mathbb{E}\left(N\mathbb{V}ar(X_1)\right) + \mathbb{V}ar\left(N\mathbb{E}(X_1)\right) \\ &= \mathbb{E}\left(1,000,000N\right) + \mathbb{V}ar\left(1,000N\right) \\ &= (1,000,000)\mathbb{E}\left(N\right) + (1,000)^2\mathbb{V}ar\left(N\right) \\ &= (1,000,000)(4) + (1,000)^2(4) \\ &= 8,000,000 \end{align*} $$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción 3.