Usaremos que

$$ \mathbb{V}ar(X|Y) = \mathbb{E}(X^2 |Y) - (\mathbb{E}(X|Y))^2 $$

y que

$$ \mathbb{E}(X|Y) = \int_{\mathbb{R}}xf_{X|Y}(x|y)dx $$

Primero calculamos la función de densidad condicional de $Y$ dado que $X=0.75$.

Usando la definición,

$$ \begin{align*}f_{Y|X}(y|0.75)&= \frac{f_{X,Y}(0.75,y)}{f_{X}(0.75)}\end{align*} $$

Para la marginal de $X$, notando que $sop(X,Y) = (0,1)^2$

$$ \begin{align*}f_{X}(0.75) &=\int_{\mathbb{R}}f_{X,Y}(0.75,y)dy \\ &= \int_{0}^{1} f_{X,Y}(0.75,y)dy \\ &= \int_{0}^{0.5} 1.5dy + \int_{0.5}^{1} 0.75dy \\ &= 1.125 \end{align*} $$

Entonces,

$$ f_{Y|X}(y|0.75)=\begin{cases} \frac{4}{3} &\text{si } 0<y<0.5 \\ \frac{2}{3} &\text{si } 0.5<y<1 \end{cases} $$

Entonces,

$$ \begin{align*} \mathbb{E}(Y|X=0.75) &= \int_{\mathbb{R}} y f_{Y|X}(y|0.75)dy \\ &= \int {0}^{0.5}\frac{4}{3}ydy + \int{0.5}^{1}\frac{2}{3}ydy \\ &= \frac{5}{12} \end{align*} $$

Análogamente,

$$ \begin{align*} \mathbb{E}(Y^2|X=0.75) &= \int_{\mathbb{R}} y^2 f_{Y|X}(y|0.75)dy \\ &= \int {0}^{0.5}\frac{4}{3}y^2dy + \int{0.5}^{1}\frac{2}{3}y^2dy \\ &= \frac{18}{72} \end{align*} $$

Por lo tanto,

$$ \begin{align*} \mathbb{V}ar(Y|X=0.75) &= \mathbb{E}(Y^2 |X=0.75) - (\mathbb{E}(Y|X=0.75))^2 \\ &= \frac{18}{72}-\left(\frac{5}{12}\right)^2 \\ &= \frac{11}{144} \\ &= 0.076 \end{align*} $$

La respuesta correcta es la opción 3.