Sean $X$ y $Y$ las ganancias anuales de las empresas A y B, respectivamente.

Por hipótesis sabemos que el vector $(X,Y)$ es normal bivariado, es decir es un vector gaussiano con $n=2$. También sabemos que

$$ X \sim \mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X ^2) \\ Y \sim \mathcal{N}(\mu_Y,\sigma_Y ^2) $$

con $\mu_X = 2000, \mu _Y = 3000, \sigma_X = 1000$ y $\sigma _Y = 500$.

<aside> 💡 Note que nos dan la desviación estándar $\sigma$, mientras que la densidad normal aparece parametrizada con la desviación estándar $\sigma ^2$.

</aside>

El coeficiente de correlación entre $X, Y$, $\rho_{X,Y} = \rho$ es $0.8$.

El ejercicio nos pide calcular “...la probabilidad de que la ganancia anual de la empresa B sea inferior a 3900, dado que la ganancia anual de la empresa A es de 2300.”. Es decir

$$ \mathbb{P}(Y<3900| X=2300) $$

Usando que

$$ Y|X=x \sim \mathcal{N}(\mu_Y + \frac{\rho \sigma _Y}{\sigma _X}(x-\mu _X), \sigma_Y \sqrt{1-\rho ^2}) $$

obtenemos

$$ \begin{align*}Y|X=2300 &\sim \mathcal{N}(3000 + \frac{(0.8)(500)}{(1000)}(2300-2000), (500) \sqrt{1-(0.8)^2}) \\ &\sim \mathcal{N}(3120, 300) \end{align*} $$

Por lo tanto

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(Y<3900| X=2300) &= \mathbb{P}(Z<\frac{3900-3120}{300}) \\ &= \mathbb{P}(Z <2.6) \\ &\thickapprox 0.9953\end{align*} $$

Por lo que la opción 5 es la correcta.