Sean $T, I,R$ variables aleatorias que nos indican las pérdidas anuales debido a tormentas, incendios y robos, respectivamente.

Por hipótesis del problema $T \sim exp(1.0), I \sim exp(1.5) \text{ y } R \sim exp(2.4)$.

Por otro lado, note que nos interesa el máximo de estas pérdidas, por lo que conviene definir otra variable aleatoria, $M$, como

$$ M := max\{T,I,R\} $$

<aside> 💡 Observe que como las candidades $T, I \text{ y } R$ son aleatorias, el máximo entre ellas también será una cantidad aleatoria.

</aside>

Queremos calcular $\mathbb{P}(M>3)$. Entonces

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(M>3) &= 1 - \mathbb{P}(M\leq 3)\\ &= 1- \mathbb{P}(max\{T,I,R\} \leq 3)\end{align*} $$

Debe ser claro que si el máximo entre $T, I \text{ y } R$ es menor o igual que 3, entonces las tres cantidades son menores que 3 al mismo tiempo.

<aside> 💡 Por ejemplo, si $t=1.0, i=1.3, r=2.1$, entonces $m=2.1$, y si el máximo entre $t,i,r$ es menor que 3 (es decir, si $r=m$ es menor que 3) entonces también $t \text{ e } i$ son menores que 3.

</aside>

Por lo anterior,

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(M>3) &= 1 - \mathbb{P}(M\leq 3)\\ &= 1- \mathbb{P}(max\{T,I,R\} \leq 3) \\ &= 1 - \mathbb{P}(T\leq3,I\leq3,R\leq 3)\end{align*} $$

Como las variables aleatorias $T,I,R$ son independientes entre sí,

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(M>3) &= 1 - \mathbb{P}(T\leq3,I\leq3,R\leq 3) \\ &=1 - \mathbb{P}(T\leq3)\mathbb{P}(I\leq3)\mathbb{P}(R\leq3)\end{align*} $$

Usando la función de distribución para una variable aleatoria exponencial,

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(M>3) &=1 - \mathbb{P}(T\leq3)\mathbb{P}(I\leq3)\mathbb{P}(R\leq3) \\ &= 1- (1-e^{-\frac{3}{1}})(1-e^{-\frac{3}{1.5}})(1-e^{-\frac{3}{2.4}}) \\ &\thickapprox 0.414\end{align*} $$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción 5.