Primero notemos que el soporte de $f$ es el conjunto

$$ sop(f)=\{0,1\}\times\{0,1\} = \{0,1\}^2 = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} $$

Esto es claro porque las variables aleatorias $X,Y$ solo pueden toman los valores 0 y 1, y por lo tanto el vector $(X,Y)$ sólo puede tomar esos valores.

Recordemos que queremos calcular

$$ \mathbb{V}ar(Y|X=1) $$

Como aún no hemos visto una definición de varianza condicional, lo único que podemos hacer es calcular la probabilidad condicional de $Y|X=1$.

Por definición, para cada $y \in sop(Y)=\{0,1\}$ y dado $x \in sop(X)=\{0,1\}$,

$$ \mathbb{P}(Y=y|X=x):= \frac{\mathbb{P}(X=x,Y=y)}{\mathbb{P}(X=x)} $$

Para $y=0$ y $x=1$

$$ \begin{equation}\mathbb{P}(Y=0|X=1) = \frac{\mathbb{P}(X=1,Y=0)}{\mathbb{P}(X=1)}\end{equation} $$

Note que el numerador de (1) es la función de probabilidad conjunta de $X,Y$ evaluada en $(1,0)$, mientras que el denominador es la función de probabilidad condicional evaluada en 1. Por definición,

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(X=1) &= \sum_{y\in sop(Y)}\mathbb{P}(X=1,Y=y) \\ &= \mathbb{P}(X=1,Y=0) + \mathbb{P}(X=1,Y=1) \\ &= 0.05 + 0.125\end{align*} $$

Sustituyendo en (1)

$$ \begin{align*}\mathbb{P}(Y=0|X=1) &= \frac{\mathbb{P}(X=1,Y=0)}{\mathbb{P}(X=1)} \\ &= \frac{0.05}{0.05+0.125} \\ &=0.286\end{align*} $$

Para $y=1$ y $x=1$, note que

$$ \mathbb{P}(Y=1|X=1)=1-\mathbb{P}(Y=0|X=1) $$

Por lo tanto $\mathbb{P}(Y=1|X=1)=1-0.286=0.714$

Resumiendo

$$ f_{Y|X}(y|1) = \begin{cases}0.714 &\text{si } y=1 \\ 0.286 &\text{si } y=0\end{cases} $$

Es decir $Y|X=1$ es una variable aleatoria bernoulli con parámetro $p=0.714$, por lo que su varianza es