Variables aleatorias

1. Sea $X$ una variable aleatoria de $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ en $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mathbb{P})$, espacios de probabilidad. Demuestre que, en efecto, la función

   $$ \begin{align*} \mathbb{P} : \mathcal{B}(\mathbb{R}) &\to [0,1]\\ B &\mapsto P(X \in B) \end{align*} $$

   es una medida de probabilidad en $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

   Solución:

   Si $\mathbb{P}$ es una medida de probabilidad en $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ entonces se cumple que

   • $P(\Omega) = 1$

     Demostración: Si $X$ es una variable aleatoria, $X(\omega) \in \mathbb{R}$ para todo $\omega \in \Omega$, entonces $X^{-1}(\mathbb{R}) = \Omega$. Por lo que se cumple que

     $$ \mathbb{P}(\mathbb{R}) = P(X^{-1}(\mathbb{R})) = P(\Omega) = 1 $$

   • Si $B_{1}, B_{2}, . . . \in \mathcal B (\mathbb{R})$ son ajenos dos a dos, esto es $B_n \cap B_m = \emptyset$ para $n \neq m$, entonces

     $$ \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb P(B_n) $$

     Demostración: Sean $\{B_n\}_{n=1}^{\infty} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ajenos dos a dos

     $$ \begin{align*} \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right) &= P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \{X \in B_n\}\right) \\ &= P \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} X^{-1}(B_n) \right) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} P(X^{-1}(B_n)) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \end{align*} $$

   • $P(\emptyset) = 0$

     Demostración:

     $$ \mathbb{P}(\emptyset) = P(X^{-1}(\emptyset)) = P(\emptyset) = 0 $$

1. Demuestre que $X$ es una variable aleatoria real si y solo si para toda $x\in\mathbb{R}$, $\{\omega \in \Omega | X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{F}$.

   Demostración: (Ida)

   Sea $X$ es una variable aleatoria. Como para cada $x$, $(-\infty, x] \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ entonces $X^{-1}((-\infty, x]) \in \mathcal{F}$ .

   (Regreso)

   Supongamos que para cada $x$, el conjunto $(X \leq x)$ es un elemento de $\mathcal{F}$ y definimos:

   $$ \mathcal{B} = \{ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) : X^{-1}(B) \in \mathcal{F} \}, \quad \mathcal{C} = \{ (-\infty, x] : x \in \mathbb{R} \} $$

   Note que $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Suponiendo que $\mathcal{B}$ es una $\sigma$-álgebra y que por lo tanto contiene a $\mathcal{C}$ se cumple que $\sigma(\mathcal{C}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{B}$, y por lo tanto, $\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ y entonces $X$ es medible.

   Demostrando que $\mathcal{B}$ es una $\sigma$-álgebra:

   • $\mathcal{B}$ es una álgebra de $\Omega$

     Dado que $\mathbb R \in \mathcal B(\mathbb R)$ y $X^{-1}(\mathbb{R}) = \Omega \in \mathcal F$, entonces $\mathbb R \in \mathcal B$

   • Si $B_1, ..., B_n,... \in \mathcal{B}$, entonces $\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \mathcal{B}$

     Para cada número natural $n$, $B_n \in \mathcal B(\mathbb R)$ y $X^{-1}(B_n) \in \mathcal F$. Entonces $\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \mathcal{B}(\mathbb R)$ y $\bigcup_{n=1}^{\infty} X^{-1}(B_n) = X^{-1}(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n) \in \mathcal F$, por lo tanto $\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \mathcal{B}$

1. Se lanzan dos dados. Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X((a,b))=\max\{a,b\}$, con $(a,b) \in \Omega$. Calcula $\mathbb{P}( \{2,3,4\})$.

   Solución:

   La cardinalidad del espacio muestral es $card(\Omega) = 36$.

   Para $X = 2$ los posibles resultados son $(1,2), (2,1), (2,2)$

   Para $X = 3$ los posibles resultados son $(1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1)$

   Para $X = 3$ los posibles resultados son $(1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (4,3), (4,2), (4,1)$

   Entonces ${X \in [2,4]}$ consiste en 15 posibles resultados, por lo tanto

$$ P(\{X \in [2,4]\}) = \frac{5}{12} $$

1. Sea $X$ una variable aleatoria de $([0,1], \mathcal{B}(\mathbb{R}), P_{\text{Lebesgue}})$ en $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mathbb{P})$ tal que $X(x) = x^{2}$. Calcula $\mathbb{P}( [0, \frac{1}{2}])$.

   Nota: la medida de probabilidad $P_{\text{Lebesgue}}$ le asigna su longitud a cada intervalo en $[0,1]$, es decir, $P_{\text{Lebesgue}} ((a,b)) = P_{\text{Lebesgue}} ((a,b]) = P_{\text{Lebesgue}} ([a,b)) = P_{\text{Lebesgue}} ([a,b]) = b -a$

   Solución:

   Hay que calcular

   $$ \mathbb{P}([0, \frac{1}{2}]) = P(X\in[0, \frac{1}{2}]) = P(\{x\in \Omega : 0\leq X(x) \leq \frac{1}{2} \}) $$

   La imagen inversa es $\{X \in [0, \frac{1}{2}]\} = \{x \in [0,1] : 0 \leq x^2 \leq \frac{1}{2} \} = [0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$

   Como $[0, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ es un intervalo, entonces la medida de Lebesgue es igual a su longitud

   $$ P(\{X \in [0,\frac{1}{\sqrt{2}}]\}) = P_{\text{Lebesgue}}([0,\frac{1}{\sqrt{2}}]) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

1. Sea $X$ el número de veces que se lanza una moneda justa hasta que sale cara por primera vez. Calcula $\mathbb{P}(2\mathbb{N}^{+})$, donde $2\mathbb{N}^{+}$ es el conjunto de números pares positivos.

   Solución:

   Para cualquier entero positivo $n$, la probabilidad $P(\{X = n\})$, i.e., la probabilidad de que salga cara por primera vez en el lanzamiento $n$ es $(\frac{1}{2})^n$. En este sentido:

   $$ \begin{aligned}P(\{X \in 2\mathbb{N}\}) &= \sum_{n=1}^{\infty} P(\{X = 2n\}) \\&= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} \\&= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n \\&= \frac{1}{3}\end{aligned} $$

Funciones de distribución

1. Sea $X$ una variable aleatoria con función de distribución $F_X$. Demuestre que

   1. $\lim_{x\to -\infty} F_{X}(x) = 0$.
   2. $\lim_{x\to \infty} F_{X}(x) = 1$.
   3. $F_X$ es no decreciente.
   4. $F_X$ es continua por la derecha.

   Solución:

   1. Sea $x_1 \geq x_2 \geq ...$ una sucesión de números reales monótona no creciente que diverge a menos infinito.

      Definimos la sucesión de eventos $A_n = \{X \leq x_n\}$ que por definición de la función de distribución se cumple que $P(A_n) = F(x_n)$.

      Entonces la sucesión monótona de eventos $A_1 \supseteq A_2 \supseteq ...$ se cumple que $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \empty$

      Por continuidad de la medida de probabilidad:

      $$ \begin{aligned} 0 &= P(\emptyset) \\&= P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right) \\&= P\left(\lim_{n \to \infty} A_n\right) \\&= \lim_{n \to \infty} P(A_n) \\&= \lim_{n \to \infty} F(x_n) \\ &= \lim_{x\to -\infty} F(x) \end{aligned} $$

   2. Sea $x_1 \leq x_2 \leq ...$ una sucesión de números reales monótona no decreciente que diverge a infinito, definimos $A_n = \{X \leq x_n\}$ que por definición se cumple que $P(A_n) = F(x_n)$.

      Dada la sucesión monótona creciente de eventos $A_1 \subseteq A_2 \subseteq ...$ se cumple que $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \Omega$

      Por continuidad de la medida de probabilidad:

      $$ \begin{aligned} 1 &= P(\Omega) \\&= P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \\&= P\left(\lim_{n \to \infty} A_n\right) \\&= \lim_{n \to \infty} P(A_n) \\&= \lim_{n \to \infty} F(x_n) \\ &= \lim_{x\to \infty} F(x) \end{aligned} $$

   3. Si $x_1 \leq x_2$ entonces $(X \leq x_1)\subseteq(X \leq x_2)$

      Por lo tanto:

      $$ P(X \leq x_1) \leq P(X \leq x_2)\\ F(x_1) \leq F(x_2) $$

   4. Sea $0 \leq ... \leq x_2 \leq x_1$ cualquier sucesión de números reales no negativos monótona no creciente que converge a cero.

      Definimos la sucesión de eventos $A_n = \{x < X \leq x + x_n\}$ que por definición de la función de distribución se cumple que $P(A_n) = F(x+ x_n) - F(x)$.

      Dada la sucesión monótona de eventos $A_1 \supseteq A_2 \supseteq ...$ se cumple que el límite es el conjunto vacío.

      Por continuidad de la medida de probabilidad:

      $$ \begin{aligned} 0 &= P(\emptyset) \\&= P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right) \\&= P\left(\lim_{n \to \infty} A_n\right) \\&= \lim_{n \to \infty} P(A_n) \\&= \lim_{n \to \infty} F(x + x_n) - F(x)\\ F(x) &= F(x+) \end{aligned} $$

1. Sea $X$ una variable aleatoria con distribución $F_X$. Demuestre que

   1. Para toda $x\in \mathbb{R}$, $P(X > x) = 1 - F_X (x)$.
   2. Para cualesquiera $x\leq y$, $P(x < X \leq y) = F_X (y) - F_X(x)$.
   3. Para toda $x \in \mathbb{R}$, $P(X=x) = F_X(x) - \lim_{y\to x^{-}} F_X (y)$.

   Solución:

   1. Sea $x \in \mathbb R$

   2. Sea $x \leq y$

      $$ \begin{aligned} 1 &= \mathbb P(\mathbb R) = P(X \in \mathbb R) \\&= P(X \in (- \infty, x]\cup(x,\infty)) \\&= P(\{X \leq x\}\cup\{X < x\}) \\&= P(X \leq x) + P(X < x)\\ P(X < x)&= 1 - F(x) \end{aligned} $$

   3. Sea $A_n = \{\frac{x-1}{n} < X \leq x\}$

1. Un jugador lanza un dardo a un objetivo circular de radio $3$.

   1. Suponiendo que el dardo siempre pega en el objetivo circular, escriba un espacio de probabilidad para este experimento aleatorio. Tome como medida de probabilidad $P_{\text{geo}}$.
   2. La puntuación se considera de la siguiente forma: el objetivo circular se particiona en $3$ círculos concéntricos $C_i$, centrados en el origen del objetivo, con radio $i$, para $i\in\{1,2,3\}$. El jugador gana $k$ puntos si el dardo pega en el $k$-ésimo anillo formado por los círculos concéntricos. Escriba, en términos de conjuntos, los eventos $A_k$ : “El dardo pega en el $k$-ésimo anillo”, para $k\in\{1,2,3\}$.
   3. Defina la variable aleatoria $X:\Omega \to \mathbb{R}$ dada por $X(\omega) = k$ si $\omega \in A_k$, es decir, $X$ indica los puntos ganados al lanzar el dardo. Calcule la función de distribución de $X$.

   Solución:

   1. Considerando que el centro del objetivo está en el origen de $\mathbb R^2$ y la medida de probabilidad $P_{\text{geo}}$, el espacio muestral de este experimento es
   2. En términos de conjuntos, los eventos $A_k$ : “El dardo pega en el $k$-ésimo anillo”, para $k\in\{1,2,3\}$ son
   3. Entonces para $k = 1, 2, 3$

1. Sea $\Omega = [0,1]\times [0,1]$ y defina la variable aleatoria $X$ de $(\Omega, \mathcal{F}, P_{\text{geo}})$ en $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mathbb{P})$ tal que $X(\omega)$ es a distancia entre $\omega$ y la esquina más cercana a $\omega$ del cuadrado unitario definido por $\Omega$. Calcule la función de distribución de $X$.