En esta sección introduciremos otra variable aleatoria absolutamente continua de la familia paramétrica, denominada exponencial.
<aside> 💡 Definición (variable aleatoria exponencial)
Decimos que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución exponencial con parámetro $\lambda > 0$, denotado por
$$ X \sim Exp(\lambda), $$
si
$$ f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} $$
con $sop(X)=[0, \infty)$. O de manera equivalente,
$$ f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}\mathbb{1}_{[0,\infty)}(x) $$
</aside>
A continuación se muestra la gráfica de la $f$-pequeña (función de densidad) para la v.a exponencial para algunos valores del parámetro $\lambda$. Aunque no se ve en la gráfica, para valores de $x$ menores que $0$, la curva es idénticamente $0$.
Calcular la función de distribución ($F$-grande) es inmediato de la definición.
$$ \begin{align*} F_X(x) :&= P(X\leq x) \\ &= \int_{-\infty}^{x} f_X(u)du \\ &= \int_{-\infty}^{x} \lambda e^{-\lambda u} \mathbf{1}{[0, \infty)} (u)du \\ &= \begin{cases} \int{0}^{x} \lambda e^{-\lambda u} du &\text{si } x\in [0,\infty) \\ 0 &\text{c.o.c} \end{cases} \\ &= \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} &\text{si } x\geq 0 \\ 0 &\text{c.o.c} \end{cases} \\ &= (1-e^{-\lambda x})\mathbf{1}_{[0,\infty)}(x) \end{align*} $$
La variable aleatoria exponencial suele usarse para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de eventos impredecibles a tiempo continuo (e.g llamadas telefónicas, terremotos, decaimiento de partículas radiactivas, etc.). Para ver esto, considere el siguiente experimento.
Suponga se llevan a cabo ensayos/experimentos Bernoulli con parámetro de éxito $p\in(0,1)$, tantas veces como sea necesario (es decir, se pueden realizar 1, 2, 3,…, veces).
Sea $W$ la variable aleatoria que mide el tiempo que ocurre antes de la ocurrencia del primer éxito de los ensayos Bernoulli; a $W$ se le conoce como tiempo de espera. El soporte de $W$ es $\{1, 2,…\}=\mathbb{N}^{+}$, por lo que es una v.a discreta. La interpretación del evento $W=k$ es que el primer éxito (del ensayo Bernoulli) ocurre exactamente antes de $k$ unidades de tiempo (note que implícitamente estamos midiendo el tiempo de manera discreta). No es difícil notar que
$$ P(W > k) = (1-p)^{k} $$
donde el evento $W>k$ se interpreta como “Esperar más de $k$ unidades de tiempo para obtener el primer éxito del ensayo Bernoulli”. Note que esto ocurre porque para tener que esperar más de $k$ unidades de tiempo, es necesario que en los primeros $k$ ensayos (se realiza un ensayo Bernoulli por unidad de tiempo) se obtenga un fracaso, y esto ocurre con probabilidad $1-p$.
Es inmediato que $W\sim Geo(p)$. La siguiente figura muestra los detalles del cálculo.
En la versión “a tiempo discreto” suponíamos que cada ensayo Bernoulli se realizaba en los tiempos $1,2,3,4,…$, lo que implicaba que $sop(W)$ fuera discreto (infinito numerable, de hecho). Para obtener la distribución exponencial hay que permitirnos medir el tiempo de manera continua.
Suponga que se realiza una sucesión de ensayos Bernoulli en los tiempos $\delta, 2\delta, 3\delta,…$con $\delta\in\mathbb{R}$ y sea $W$ la v.a que mide el tiempo de espera del primer éxito del ensayo Bernoulli. Entonces