El último modelo paramétrico que revisaremos a profundidad será la denominada distribución Gamma.
<aside> 💡 Definición (variable aleatoria gamma)
Decimos que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución gamma con parámetros $r>0$ y $\lambda >0$ (parámetros de forma y escala, respectivamente), denotado por $X\sim Gamma(r, \lambda)$, si
$$ f_X(x) = \frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} $$
con $sop(X)=\mathbb{R}^{+}$. O de manera equivalente,
$$ f_X(x) = \frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{[0, \infty)}(x) $$
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En la definición de arriba aparece una función especial llamada función gamma. Esta función es la extensión de la función factorial y se define de la siguiente manera.
<aside> 💡 Definición (función gamma)
La función gamma, denotada por $\Gamma$, se define como $\Gamma : U \subset \mathbb{C} \to \mathbb{R}$,
$$ \Gamma(t) := \int_{0}^{\infty} x^{t-1}e^{-x} dx $$
donde $t \in U$ si y solo si $Re(t) >0$.
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Hemos definido el dominio de la función gamma de tal manera que la integral que la define sea absolutamente convergente. Aunque para lo que la usaremos, no tendremos ningún problema porque el parámetro de forma, $r$, es un número real positivo. Para más detalles véase Gamma Function.
Se puede demostrar que
$\forall x\in\mathbb{R}^{+}$, $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$.
En particular, para $n\in\mathbb{N}$, $\Gamma(n+1) = n!$.
Si $p \in (0,1)$, $\Gamma(p) \Gamma(1-p) = \frac{\pi}{\sin(p\pi)}$.
Si $n$ es impar, $\Gamma(\frac{n}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}(n-1)}{2^{n-1} (\frac{n-1}{2})!}$
Aproximación de Stirling. Para $n\to\infty$, $n! \to \sqrt{2 \pi n} n^{n} e^{-n}$
Ejercicio: Probar que $\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$.
Una caso particular de la distribución gamma es de particular importancia, el cual es conocido como distribución ji-cuadrada.
<aside> 💡 Definición (variable aleatoria ji-cuadrada)
Decimos que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución ji-cuadrada con $k$ grados de libertad, denotado por $X\sim \chi_{(k)}^{2}$, si $X \sim \Gamma(k/2, 1/2)$. Es decir, si
$$ f_X(x) = \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{\frac{k}{2}-1}e^{-x/2} \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x) $$
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La distribución ji-cuadrada es de suma importancia en estadística, en particular en las denominadas pruebas de bondad de ajuste para determinar si un conjunto de datos sigue una distribución en particular.