Hemos centrado nuestro estudio de las variables aleatorias en dos tipos particulares de ellas: las v.a. discretas y las v.a. continuas. En esta clase definiremos la variable aleatoria continua más importante (así como la v.a bernoulli es la v.a discreta más importante), conocida como variable aleatoria Normal.
<aside> 💡 Definición (variable aleatoria Normal) Se dice que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución normal con parámetros $\mu \in \mathbb{R}$ y $\sigma ^{2} \in \mathbb{R}^{+}$ (la media y la varianza, respectivamente), denotado por
$$ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2}), $$
si
$$ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^{2}}}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}} $$
con $sop(X)=\mathbb{R}$.
</aside>
A continuación se muestra la gráfica de la función de densidad (PDF) de la v.a normal para algunos valores de la media y la varianza. Note que la media determina la localización de la gráfica, mientras que la varianza determina su ancho (a mayor varianza, más ancha o dispersa está la curva). **
Note que la existencia de la f-pequeña -con soporte no-numerable- de $X$ implica inmediatamente que $X$ es una variable aleatoria absolutamente continua. Luego, la función de distribución (o F-grande) está dada por
$$ \mathbb{P}(X\leq x) := F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^{2}}}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(u-\mu)^{2}} du $$
La integral que aparece arriba tiene un pequeño gran detalle: no se puede integrar en términos elementales, lo que significa que, dado $x\in\mathbb{R}, F_X(x)$ no se puede expresar en términos de polinomios, función exponenciales, trigonométricas, etc (funciones elementales). La función de distribución de la v.a Normal se puede expresar en términos de una función con nombre especial: función error. Para más detalles véase (Función error).
Pese a lo anterior, existe un valor de $x$ para el cual la integral se puede calcular fácilmente, $x=\infty$. Para verlo, recordemos las dos propiedades que caracterizan a las $f$-pequeñas en el caso absolutamente continuo.
<aside> 💡 Caracterización
$f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función de densidad (a.k.a f-pequeña) si y solo si
</aside>
Entonces, si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$, se debe cumplir que
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^{2}}}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(u-\mu)^{2}} du = 1 $$
para cualesquiera parámetros dados como en la definición. En particular, si $\mu=0$ y $\sigma^{2}=1$, obtenemos el siguiente resultado importante
$$ \int_{-\infty} ^{\infty}e^{-\frac{1}{2} u^{2}} du = \sqrt{2\pi} $$
Sin embargo, muchas veces será necesario calcular $F_X(x)$ para otros valores de $x$. Para esto tenemos dos opciones:
En tablas se puede encontrar el valor de la integral (la función de distribución) para distintos valores de $x$
