• Ejemplo Sea $X$ el tiempo de respuesta (medido en milisegundos) de un servidor web al responder a una petición HTTP.

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Teorema: Sea $X$ una v.a y $h$ una función borel-medible no negativa. Para cualquier $a>0$,

$$ P(h(X) \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(h(X))}{a} $$

• Dem: Consideremos $\mathbf{1}_{(h(X) \geq a)}$, es decir, </aside>

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Teorema (Desigualdad de Markov): Para $X$ una v.a y $a>0$,

$$ P(|X| \geq a) \leq \frac{ \mathbb{E}(|X|) }{ a } $$

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• Ejemplo (continuación) Por hipótesis, $\mathbb{E}(X) = 100$.

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Teorema (Desigualdad de Chebyshov): Para una v.a y $a>0$,

$$ P(|X| \geq a) \leq \frac{ \mathbb{E}(X^{2}) }{ a^{2} } $$

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• Ejemplo (continuación) Sabemos que $\mathbb{V}ar(X) = \mathbb{E}(X^{2}) - \mathbb{E}(X)^{2}$, por lo que $\mathbb{E}(X^{2}) = \mathbb{V}ar(X) + \mathbb{E}(X)^{2} = 100^{2} +100^{2} = 20,000$ y $a^{2}=400^{2} = 160,000$, por lo que

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Proposición (otras desigualdades):

1. Desigualdad de Chebyshev de una cola

$$ P( X - \mathbb{E}(X) \geq a) \leq \frac{ \mathbb{V}ar(X) }{ a^{2} + \mathbb{V}ar(X) } $$

2. Desigualdad de Markov generalizada

Si $h(x)$ es medible, no-negativa y creciente para $x>0$, entonces

$$ P(|X| \geq a) \leq \frac{ \mathbb{E}(h(X)) }{ h(a) } $$

Si $X$ es no-negativa,

$$ P(X > a) \leq \frac{ \mathbb{E}(X) }{ a } $$

SI $c>0$,

$$ P(X > a) \leq \frac{ \mathbb{E}[(X+c)^{2}]}{ (a+c){{2}} } $$

Además,

$$ P(X > a) \leq \mathbb{E}(e^{c(X-a)}) $$

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• Ejemplo Sea $X$ una variable aleatoria tal que $\mathbb{V}ar(X) = 0$. Probar que con probabilidad $1$, $X$ es una v.a constante.

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Definición (Función convexa): Una función $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es convexa si para todo $a \in \mathbb{R}$ existe $\lambda_a \in \mathbb{R}$ tal que

$$ g(x) \geq g(a) + \lambda_a (x-a) $$

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Teorema (Desigualdad de Jensen): Sea $X$ una variable aleatoria con esperanza finita y sea $g$ una función real medible y convexa. Entonces

$$ \mathbb{E}(g(X)) \geq g(\mathbb{E}(X)) $$

• Dem: Se sigue de la definición de función convexa tomando $a=\mathbb{E}(X)$ </aside>

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Proposición: Sea $X$ una v.a positiva. Entonces $\mathbb{E}(\log (X)) \leq \log(\mathbb{E}(X))$

Dem: Se sigue inmediatamente porque $\log$ es cóncava y $-\log$ es convexa.

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• Ejemplo (Desigualdad MA-MG)