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Teorema (del estadístico inconsciente): Sea $X$ una variable aleatoria y $\varphi$ una función borel-medible. Entonces

Si $X$ es discreta y $\mathbb{E}(X) < \infty$.

$\mathbb{E}(\varphi(X)) = \sum_{x \in \text{sop}(f_X)} \varphi(x)\, f_X(x)$

Si $X$ es continua y $\mathbb{E}(X) < \infty$

$\mathbb{E}(\varphi(X)) = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x)\, f_X(x)\, dx$

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• Dem:
• Ejemplo Sea $X$ una v.a. continua con función de densidad $f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\mathbb{1}_{(0,2\pi)}(x)$. Calcular $\mathbb{E}(X^2)$

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Definición ($k$-ésimo momento): Sea $k \in \mathbb{N}^+$, el $k$-ésimo momento de la v.a. $X$ es $m_k = \mathbb{E}(X^k)$

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Dado que esta expresión podría no existir (si la suma o integral no son absolutamente convergentes), una variable aleatoria no necesariamente tiene $k$-ésimo momento finito para cualquier $k$.

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Definición ($k$-ésimo momento central): Sea $k \in \mathbb{N}^+$, el $k$-ésimo momento central de la v.a. $X$ es

$\mu_k = \mathbb{E}((X - m_1)^k)$

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