Esta semana estudiaremos características numéricas de los modelos de probabilidad que hemos revisado. Comenzaremos con el siguiente ejemplo.

• Ejemplo: Considere un juego en el que se lanza un dado justo de 6 caras y se ganan $10 si el resultado es par pero se pierden $5 si el resultado es impar. ¿Conviene jugar? ¿Qué cantidad esperamos ganar o perder en cada juego?

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Definición (Esperanza): Sea $X$ una variable aleatoria. La esperanza de $X$, denotada por $\mathbb{E}(X)$, se calcula como:

1. Si $X$ es discreta, con función de probabilidad $f_X$:

$\mathbb{E}(X) = \sum_{x \in \text{sop}(f_X)} x f_X(x)$

2. Si $X$ es continua, con función de densidad $f_X$:

$\mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}} x f_X(x) dx$

Siempre y cuando la suma y la integral sean absolutamente convergentes.

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• Ejemplo Sea $X \sim \text{Bern}(p)$, i.e., $f_X(x) = p^x(1-p)^{1-x}\mathbb{1}_{\{0,1\}}(x)$
• Ejemplo Sea $X \sim \text{Unif}(0,1)$, i.e., $f_X(x) = \mathbb{1}_{(0,1)}(x)$
• Ejemplo Sea $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ i.e., $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

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Teorema: Para cualquier evento $A \in \mathcal{F}$:

$\mathbb{E}(\mathbb{1}_A) = P(A)$

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• Dem: Por definición, $\text{sop}(\mathbb{1}_A) = \{0,1\}$, entonces:

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Teorema: El operador $\mathbb{E}$ tiene las siguientes propiedades:

1. Si $X > 0$, entonces $\mathbb{E}(X) > 0$

2. Linealidad: Si $a, b \in \mathbb{R}$, entonces

$\mathbb{E}(aX + bY) = a\mathbb{E}(X) + b\mathbb{E}(Y)$

3. Si $X = c$, entonces $\mathbb{E}(X) = c$

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Dem: Es trivial. Se deja de tarea.

• Ejemplo Una moneda sesgada se tira $n$ veces. La probabilidad de que salga Sol es $p$. Una corrida es una secuencia de lanzamientos que resultan en la misma salida o resultado. Por ejemplo la secuencia SSASAAS contiene $5$ corridas. Muestre que el número esperado de corridas es $1 + 2(n-1)p(1-p)$

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Lema: Sea $X$ una v.a. continua con función de densidad $f_X$ con soporte $\text{sop}(f_X) = (0, \infty)$ y función de distribución $F_X$. Entonces $\mathbb{E}(X) = \int_{(0,\infty)} (1 - F_X(x))\, dx$

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• Dem: