Supongamos que nos platean el siguiente juego

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Se lanza una dado equilibrado: si sale un número par ganas $10, pero si sale un número impar pierdes $5

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¿Conviene jugar?

Es claro que la probabilidad de ganar es $\frac{1}{2}$ pero, en promedio, ¿cuánto se gana o se pierde?

Veamos lo siguiente

La probabilidad de ganar $10 es $\frac{3}{6}$ y la de perder $5 es $\frac{3}{6}$. La ganancia esperada es

$$ 10 P("ganar") + (-5) P("perder") = 2.5 $$

Ejemplo | Simulación

Lo anterior motiva la siguiente

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Definición (Esperanza)

Sea $X$ una v.a. continua o discreta. La esperanza de $X$ se define como

$$ \mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}} x f_X(x)dx $$

Si $X$ es continua y $\int_{\mathbb{R}} |x f_X(x)|dx < \infty$.

o

$$ \mathbb{E}(X) = \sum_{x\in sop(X)} x f_X(x) $$

si $X$ es discreta y $\sum_{x\in sop(X)} |x f_X(x)| < \infty$

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En caso de que la suma o la integral no sean absolutamente convergentes, se dice que la esperanza no existe o que la variable aleatoria no tiene esperanza finita.

Ejercicio

Sea $X$ v.a con $f_X(x) = \frac{1}{2\pi} 1_{(0,2\pi)}(x)$ y sea $Y$ v.a tal que $sop(Y) = \{0,4\}$ y $f_Y(0) = \frac{3}{4}$ y $f_Y(4) = \frac{1}{4}$.

Calcular $\mathbb{E}(X)$ y $\mathbb{E}(Y)$.

Ahora veremos un par de propiedades que cumple la esperanza