Hasta el momento hemos estudiado modelos de probabilidad de v.a discretas y continuas
$$ X \sim F_X $$
Por ejemplo, si $X$ es discreta, el modelo $F_X$ puede ser $Bern(p)$, $Bin(n, p)$ ,etc.
Si $X$ es continua, el modelo puede ser $Unif (a,b)$, $exp(\lambda)$, etc.
Sea $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función bien portada (i.e Borel-medible), y $X : \Omega \to \mathbb{R}$ una variable aleatoria. Entonces $g\circ X$ es una v.a dada por
$$ \begin{aligned} g \circ X = g(X): \Omega &\to \mathbb{R} \\ \omega &\mapsto g(X(\omega)) \end{aligned} $$
Como $g(X)$ es una variable aleatoria, debemos poder encontrar su función de distribución
$$ \begin{align*} F_{g\circ X} &= \mathbb{P}_{g \circ X} ((- \infty , x ]) \\ &= P(g \circ X \in (- \infty , x] ) \\ &= P(g(X) \in (-\infty , x] ) \\ \end{align*} $$
Esta semana nos centraremos en calcular la función de distribución y de probabilidad o densidad de una v.a. que es función de otra
$$ Y = g(X) $$
$Y$: variable aleatoria que es función de otra; el objetivo es calcular su distribución.
$X$: variable aleatoria con distribución conocida.
$g$: función real, medible.
Ejemplo
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Sea $X$ una va. con función de distribución conocida, $F_X$. Vamos la calcular $F_Y$.
$$ \begin{align*} F_Y(y) &= \mathbb{P}_Y ((- \infty , y]) \\ &= P(Y \in (-\infty , y] ) \\ &= P(Y \leq y) \\ &= P(\set{ \omega \in \Omega | Y(\omega) \leq y}) \\ &= P(\set{ \omega \in \Omega | g(X(\omega)) \leq y}) \end{align*} $$
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Ejemplo