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Proposición (v.a continuas)
Sea $X$ una variable aleatoria. Son equivalentes
$$ \mathbb{P}((- \infty , x]) = P(X \leq x) = F_X (x) = \int _{ (-\infty, x ]} f_X $$
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Definición (Función de densidad)
Sea $X$ una v.a continua. Entonces existe $f_X: \mathbb{R} \to [0, \infty )$ integrable tal que $\forall x \in \mathbb{R}$
$$ ⁍ $$
A la función $f_X$ se le llama función de densidad de $X$.
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La función de densidad de $X$ no necesariamente es única, pues pueden haber dos funciones $f_1$, $f_2$ que integren lo mismo en $(- \infty, x]$ para toda $x \in \mathbb{R}$ pero $f_1(x^{}) \neq f_2(x^{})$ p.a $x^{*} \in \mathbb{R}$.
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Proposición
Sea $f_X$ la función de densidad de $X$. Entonces
$$ ⁍ $$
$$ ⁍ $$
$$ ⁍ $$
En general, para cualquier $B \in \mathcal{B} (\mathbb{R})$,
$$ ⁍ $$
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Caracterización
Cualquier función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ integrable tal que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f(x) \geq 0$ y $\int _{ \mathbb{R} } f = 1$ es una función de densidad. Es decir, existe una v.a continua tal que $\mathbb{P}((-\infty , x]) = \int _{ (-\infty, x] } f$.
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Ejemplo
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Proposición
Por el TFC, si $F_X$ es diferenciable en $x \in \mathbb{R}$, entonces $f_X(x) = F_X^{\prime}(x)$.
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Definición (Independencia de variables aleatorias continuas)
Dos variables aleatorias $X$ y $Y$ son independientes si
$$ ⁍ $$
Es decir, si los eventos $\set{X \leq x}$ y $\set{Y \leq y}$ son independientes.
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Teorema
Si $X$ y $Y$ son independientes, y $g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son funciones Borel-medibles, entonces $g(X) \perp h(Y)$
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Definición (Modelo uniforme continuo)
Una v.a $X$ sigue una distribución uniforme continua, con parámetros $\theta_1 , \theta_2 \in \mathbb{R}$, $\theta_1 < \theta_2$, denotado por $X \sim Unif (\theta_1, \theta_2)$ si
$$ ⁍ $$
$$ f_X (x) = \frac{ 1 }{ \theta_2 - \theta_1 } \textbf{1}_{sop(f_X)}(x) $$
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El modelo uniforme continuo generalmente se usa para modelar situaciones donde la cantidad aleatoria a modelar toma valores en un intervalo y se tiene total desconocimiento sobre el valor 'más probable' o cualquier otra información sobre los valores que puede tomar $X$.
Por ejemplo, si $X$ es el tiempo de llegada del primer pumabus R1, y no podemos dar información adicional sobre el tiempo de llegada (e.g que es más probable que pase entre las 6:30 y las 7:00 am que entre las 10 pm y las 11 pm), podemos modelar a $X$ como $Unif(0,24)$ para indicar que cualquier momento, entre las 0:00 hr y las 23:59 hr tienen la misma probabilidad.
Aunque el modelo $Unif(\theta_1, \theta_2)$ tiene diversas aplicaciones en estadística bayesiana, por ejemplo, en el curso nos interesa principalmente porque, como veremos más adelante, si sabemos simular números "aleatorios" con distribución $Unif(0,1)$, podemos simular números "aleatorios" con cualquier otra distribución, $F_X$.
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Definición (Modelo exponencial)
Una v.a $X$ sigue una distribución exponencial con parámetro $\lambda \in \mathbb{R}^{+}$, denotado por $X \sim Exp(\lambda)$ si
$$ ⁍ $$
$$ f_X (x) = \lambda e^{-\lambda x} \textbf{1}_{sop(f_X)}(x) $$
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El modelo exponencial modela el tiempo que pasa hasta que ocurre un evento, cuando ese evento tiene probabilidad uniforme de ocurrir en cualquier momento.
El parámetro $\lambda$ es tal que $\lambda ^{-1}$ es el tiempo promedio que tardará en ocurrir el evento de interés.
$\lambda ^{-1}$ está en unidades de tiempo
Ejemplo