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Proposición (Variables aleatorias discretas)

Sea $X:\Omega \to \mathbb{R}$ una variable aleatoria. Son equivalentes:

1. $X$ es discreta.
2. $Im(X) = \set{x \in \mathbb{R} | \exists \omega \in \Omega, X(\omega) = x}$ es contable.
3. Existe un conjunto contable $C \subset \mathbb{R}$, tal que $\mathbb{P}(C) = P(X \in C) = 1$ </aside>

Obs: Que un conjunto sea contable significa que es finito o numerable.

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Definición (Función de probabilidad)

Sea $X$ una v.a discreta. La función de probabilidad de $X$ es la función

$$ \begin{aligned} f_X: \mathbb{R} &\to [0,1] \\ x &\mapsto \mathbb{P}(\set{x}) = P(X=x) \end{aligned} $$

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Ejemplo

• Sea $X$ la v.a que cuenta la cantidad de soles en el lanzamiento de dos monedas, es decir,

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Definición (Soporte)

Sea $f_X$ la función de probabilidad de la v.a $X$. El soporte de $f_X$ es

$$ sop(f_X) = \set{ x \in \mathbb{R} : f_X(x) > 0} $$

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Proposición

Si $X$ es una v.a discreta con función de probabilidad $f_X$, entonces

$$ Im(X) = sop(f_X) $$

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Es decir, el soporte de la variable aleatoria consiste en los valores que toma.

Ejemplo

• La función de probabilidad del ejemplo anterior es

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Proposición

Si $f_X$ es la función de probabilidad de $X$, entonces

1. Para toda $x \in \mathbb{R},\quad f_X(x) \geq 0$
2. $f_X$ está normalizada, es decir,

$$ \sum_{x \in sop(f_X)} f_X(x) = 1 $$

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Caracterización

Cualquier función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con soporte contable tal que $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \geq 0$ y $\sum_{x \in sop(f)} f(x) = 1$ es una función de probabilidad. Es decir, existe una v.a $X$ tal que $\mathbb{P}(\set{x}) = f(x)$

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Debido a esta caracterización, podemos estudiar modelos de probabilidad sin necesidad de hablar directamente de variables aleatorias, sino únicamente de funciones reales que satisfagan estas dos propiedades.

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Proposición (relación entre $F_X$ y $f_X$)

Sea $X$ una variable aleatoria discreta con función de distribución $F_X$ y función de probabilidad $f_X$. Entonces

$$ \begin{align*} F_X(x) &= \sum_{u \leq x} f_X (u) \\[0.6cm] f_X(x) &= F_X(x) - F_X(x^{-}) \\ \end{align*} $$

donde $u \leq x \equiv \set{u \in sop(f_X) | u \leq x}$ y $F_X(x^{-}) = \lim_{ y \to x^{-} } F_X(y)$.

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Ejemplo

• Dado un evento $A$, la función indicadora de $A$ es $\textbf{1}_A$ y tiene función de distribución,

MODELOS PARAMÉTRICOS DE PROBABILIDAD

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Definición (Modelo Bernoulli)

Una v.a $X$ sigue una distribución Bernoulli con parámetro $p \in (0,1)$, denotado por $X \sim Bern(p)$ si

$$ sop(f_X) = \set{0,1} $$

$$ f_X(x) = p^{x} (1-p)^{1-x}\textbf{1}_{sop(f_X)}(x) $$

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El modelo Bernoulli modela experimentos con 2 posibles resultados, normalmente denotados por

$$ \begin{align*} 1 &\longrightarrow \text{éxito} \\ 0 &\longrightarrow \text{fracaso} \\ \end{align*} $$