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Definición (Función de distribución)

La función de distribución de una variable aleatoria $X:\Omega \to \mathbb{R}$ es la función

$\begin{aligned} F_X: \mathbb{R} &\to [0,1] \\ x &\mapsto \mathbb{P}((-\infty ,x]) = P( X\leq x) \end{aligned}$

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Ejemplos

• Sea $\xi$: "Lanzar 2 veces una moneda". Entonces $\Omega = \set{(s,s), (s,a), (a,s), (a,a)}$.
• Sea $X$ la función constante, es decir, $X=c$, para alguna $c \in \mathbb{R}$. Vamos a probar que $X$ es una v.a y a calcular su función de distribución.

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Teorema

Sea $X: \Omega \to \mathbb{R}$ una v.a con función de distribución $F_X:\mathbb{R} \to [0,1]$. Entonces

1. $\lim_{ x \to - \infty } F_X(x) = 0$
2. $\lim_{ x \to \infty } F_X(x) = 1$
3. $F_X$ es no-decreciente: si $x<y$, entonces $F_X(x) \leq F_X(y)$
4. $F_X$ es continua por la derecha: $\lim_{ \varepsilon \to 0^{+}} F_X(x+ \varepsilon) = F_X(x)$ </aside>

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Caracterización (Función de distribución)

Cualquier función $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaga las 4 propiedades del teorema anterior es una función de distribución. Es decir, existe $X$ v.a tal que para toda $x \in \mathbb{R}$, $F(x) = \mathbb{P}((-\infty , x]) = P(X\leq x)$.

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Ejemplo

• Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Sea $A \in \mathcal{ F }$ un evento y sea $\textbf{1}_{A}$ una función dada por

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Teorema

Sea $X$ una v.a con función de distribución $F_X$.Para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$ se cumplen:

1. $P(X > x) = 1 - F_X(x)$
2. $P(x < X \leq y) = F_X(y) - F_X(x)$
3. $P(X=x) = F_X(x) - \lim_{ z \to x^{-} } F_X(z)$ </aside>

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Definición (Variable aleatoria discreta y continua)

Sea $X:\Omega \to \mathbb{R}$ una v.a con función de distribución $F_X$.

Diremos que $X$ es una v.a discreta si $F_X$ es una función escalonada.

Diremos que $X$ es una v.a continua si $F_X$ es una función continua.

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