Hasta el momento, nuestro estudio de los fenómenos aleatorios se ha centrado en asociarlos a un espacio de probabilidad y estudiar ese espacio. Este enfoque podría parecer relativamente complicado debido a que el espacio muestral es, en principio, cualquier conjunto, y el espacio de eventos es una $\sigma$—álgebra de subconjuntos del espacio muestral. Esto implica que la función de probabilidad no es una función real, como las que conocemos de cálculo, sino una función valuada en conjuntos (set-valued, en inglés).

En esta segunda unidad vamos a trasladar el estudio de los espacios de probabilidad

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al espacio de probabilidad

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Usando una función $X$ llamada variable aleatoria

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Definición (Función medible)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Una función $g: \Omega \to \mathbb{R}$ es medible respecto a $\mathcal{ F }$ si satisface

$$ ⁍ $$

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Recordatorio:

$g^{-1}(B)$ es la imagen inversa de $B$ bajo $g$.

$$ ⁍ $$

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Definición (Variable aleatoria)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria real

$$ ⁍ $$

es una función $\mathcal{ F }$-medible.

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• Ejemplo

Notación

Si $(\Omega,\mathcal{F},P)\;\xrightarrow{\,X\,}\;(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mathbb{P})$ es una variable aleatoria y $A \in \mathcal{B} (\mathbb{R})$

1. $X^{-1}(A) = (X\in A) = X\in A = \set{\omega \in \Omega | X(\omega) \in A}$
2. Si $A = (a,b),\quad X^{-1}(A) = (X\in (a,b)) = X\in (a,b) = a < X < b = ( a < X < b)$
3. Si $A = (-\infty ,x],\quad X^{-1}(A) = X\in (-\infty ,x] = X \leq x = ( X \leq x )$
4. $X$ (en mayúscula) representa a la variable aleatoria
5. $x$ (en minúscula) representa un posible valor tomado por una variable aleatoria.