Vamos a terminar esta primera unidad con una de las propiedades con consecuencias más interesantes que cumplen las medidas de probabilidad.

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Definición (Sucesión creciente y no-decreciente de eventos)

Sea $\mathcal{ F }$ una $\sigma$-álgebra. Para cada $n \in \mathbb{N}^{+}$, sea $A_n \in \mathcal{ F }$. Decimos que la sucesión de eventos, $\{ A _{ n } \} _{ n \in \mathbb{N}^{+}}$ es creciente si

$$ A_{ i} \subset A_{ i+1}, \text{ } \text{ } \forall i \in \mathbb{N}^{+} $$

Decimos que $\{ A _{ n } \} _{ n \in \mathbb{N}^{+}}$ es no-decreciente si

$$ A_{i} \subseteq A_{ i+1} , \text{ } \text{ } \forall i \in \mathbb{N}^{+} $$

Es decir, la sucesión es no-decreciente si existe algún $j \in \mathbb{N}^{+}$ tal que $A_j = A_{j+1}$

Análogamente decimos que $\{ A _{ n } \} _{ n \in \mathbb{N}^{+}}$ es decreciente si

$$ A_{ i+1} \subset A_{ i}, \text{ } \text{ } \forall i \in \mathbb{N}^{+} $$

y que es no-creciente si

$$ A_{ i+1} \subseteq A_{ i}, \text{ } \text{ } \forall i \in \mathbb{N}^{+} $$

Es decir, la sucesión es no-creciente si existe algún $j \in \mathbb{N}^{+}$ tal que $A_{j+1} = A_{j}$

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Ejemplo

• Para cada $i \in \mathbb{N}^{+}$ defina

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Definición (Límite de una sucesión de eventos)

Sea $\{ A _{ i } \} _{ i \in \mathbb{N}^{+} }$ una sucesión de eventos en $\mathcal{ F }$. Si $\{ A _{ i } \} _{ i \in \mathbb{N}^{+} }$ es creciente o no-decreciente, definimos

$$ \lim_{ n \to \infty } A_n = \bigcup _{ i=1 } ^{ \infty } A_i $$

Si $\{ A _{ i } \} _{ i \in \mathbb{N}^{+} }$ es decreciente o no-creciente, definimos

$$ \lim_{ n \to \infty } A_n = \bigcap _{ i=1 } ^{ \infty } A_i $$

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Ejemplo

• Sean $A_i = [0,i]$ y $B_i = [1 - \frac{ 1 }{ i }, 1 + \frac{ 1 }{ i }]$ con $i \in \mathbb{N}^{+}$, dos sucesiones de eventos en $\mathcal{B} (\mathbb{R})$

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Teorema (Continuidad de las medidas de probabilidad)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad y sea $\{ A _{ i } \} _{ i \in \mathbb{N}^{+} }$ una sucesión monótona de eventos en $\mathcal{ F }$. Entonces,

$$ P\left( \lim { n \to \infty } A_n \right) = \lim{ n \to \infty } P(A_n) $$

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Observación: Una sucesión monótona es una sucesión creciente o no-decreciente o decreciente o no-creciente.

Ejemplo

• Una moneda equilibrada se tira repetidas veces. Muestre que, con probabilidad 1, tarde o temprano sale sol.