Ejemplo

• Tenemos dos cajas, cada una con pelotas blancas y negras. La caja 1 tiene 3 pelotas blancas y 7 negras. La caja 2 tiene 6 blancas y 6 negras. Considere el siguiente experimento $\xi$: "Se elige una caja al azar y se saca una pelota de esa caja".

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Teorema (Probabilidad total)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Sea $\{ B _{ j } \} _{ j=1 } ^{ n }$ una colección de eventos disjuntos dos a dos tales que $A \subset \bigcup _{ j=1 } ^{ n } B_j$ para algún evento $A \in \mathcal{ F }$ y además $\forall j \in \{ 1,2,\ldots ,n \}, P(B_j) > 0$. Entonces,

$P(A) = \sum _{ j=1} ^{ n } P(A | B_j) P(B_j)$

• Dem: </aside>

• Regresando al ejemplo...

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Teorema (de Bayes)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Sea $\{ B _{ j } \} _{ j=1 } ^{ n }$ una colección de eventos disjuntos 2 a 2 en $\mathcal{ F }$ y sea $A \in \mathcal{ F }$ tal que $A \subset \bigcup _{ j=1 } ^{ n } B_j$, con $P(A)\neq 0, P(B_j) >0$. Entonces, $\forall k \in \{ 1,2,\ldots ,n \}$,

$P(B_k | A) = \frac{ P(A | B_k) P(B_k) }{ \sum _{ j=1 } ^{ n } P(A | B_j)P(B_j) }$

• Dem: </aside>

Ejemplo (continuación)

• Considere el evento $B$: "Sale una pelota blanca", es decir