Todo lo que hemos visto hasta ahora ha sido para un experimento aleatorio y un evento de interés. En esta clase vamos a ver cómo afecta la ocurrencia de un evento $B$, la probabilidad de otro evento $A$. Esto surge en situaciones sencillas como la siguiente

• Ejemplo

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Definición (Probabilidad condicional)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad, y sean $A, B \in \mathcal{ F }$. Si $P(B) > 0$, definimos la probabilidad condicional de $A$ dado $B$ como

$$ ⁍ $$

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1. $A | B$ se le "A dado B" o "A dada la ocurrencia de B"

2. En caso de que $\Omega$ sea equiprobable,

   $$ ⁍ $$

3. $P(A | B)$ es una forma de incorporar información adicional al cálculo de la probabilidad de $A$.

Ejemplos

• Considere el experimento $\xi$: "Se lanza un dado equilibrado", con espacio de probabilidad
• Considere el experimento $\xi$: "Se lanzan 2 dados equilibrados", con espacio muestral

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Definición (Independencia de 2 eventos)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Dos eventos, $A, B \in \mathcal{ F }$ son independientes si

$P(A \cap B) = P(A) P(B)$

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Ejemplo

• Considere un experimento con espacio muestral $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ equiprobable, es decir,

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Proposición

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Entonces $A, B \in \mathcal{ F }$ son independientes si y solo si

$P(A | B) = P(A)$

$P(B | A) = P(B)$

• Dem: </aside>

De la proposición anterior podemos concluir que "independencia" es equivalente a que "la ocurrencia de un evento no afecta al otro".

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Definición (Independencia de eventos)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Sea $\{ A _{ i } \} _{ i \in I}$ una colección de eventos en $\mathcal{ F }$ con $I \subset \mathbb{N}$ un conjunto de índices. La colección de eventos es independiente si

$$ ⁍ $$

para cualquier subconjunto finito $J$ de $I$ no vacío.

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Es decir, tienen que ser disjuntos 2 a 2, 3 a 3, 4 a 4, ..., etc.

Ejemplo

• Si $A \cap B = \varnothing$ ¿$A$ y $B$ son independientes?
• Si $A$ y $B$ son eventos independientes, ¿ $A \cap B = \varnothing$ ?