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Proposición

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Si $\{ A _{ i } \} _{ i=1 } ^{ n }$, para alguna $n \in \mathbb{N}^{+}$, es una sucesión de eventos en $\mathcal{ F }$ disjuntos dos a dos, entonces

$$ ⁍ $$

• Dem: </aside>

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Teorema

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F }, P)$ un espacio de probabilidad. Entonces

1. $\forall A \in \mathcal{ F }$, $P(A ^{c}) = 1 - P(A)$.
2. Sean $A, B \in \mathcal{ F }$. Si $A \subset B$, entonces

$$ ⁍ $$

1. $\forall A, B \in \mathcal{ F }$

$$ ⁍ $$

• Dem: </aside>

Ejemplo

• Encontrar la probabilidad de que en un grupo de $61$ personas al menos $2$ tengan el mismo cumpleaños.

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Definición ($\sigma$-álgebra de Borel)

Si $\Omega=\mathbb{R}$, definimos la $\sigma$-álgebra de Borel de $\mathbb{R}$ como

$\mathcal{B} (\mathbb{R}) = \sigma ( \{ U \subset \mathbb{ R } | U \text{ es abierto} \} )$

Es decir, $\mathcal{B} (\mathbb{R})$ es la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene a todos los subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}$.

A los elementos de $\mathcal{B} (\mathbb{R})$ se les llama "conjuntos de Borel", "conjuntos borel-medibles" o "borelianos" de $\mathbb{R}$.

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Teorema

$\mathcal{B} (\mathbb{R}) = \sigma ( \{ (-\infty , x] | x \in \mathbb{R} \} )$

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Ejemplos

• Los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}$ son borel-medibles.
• Demostrar que si $x \in \mathbb{R}$, entonces $\{ x \} \in \mathcal{B} (\mathbb{R})$