En clases anteriores vimos dos funciones de probabilidad: la clásica y la frecuentista. Estas funciones son casos particulares de un concepto más general llamado "medidas de probabilidad".

Debe ser mencionado que aunque la función de probabilidad frecuentista nos ayuda a interpretar, en la mayoría de los casos, lo que queremos decir con "probabilidad", no siempre es aplicable, ya sea porque nos encontramos con fenómenos no reproducible o porque no es posible repetirlo de manera independiente.

La forma moderna y rigurosa de definir probabilidad es en términos en los axiomas de Kolmogorov, tema que veremos en esta unidad.

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Definición (Medida de probabilidad)

Sea $(\Omega, \mathcal{ F })$ un espacio medible. Una medida de probabilidad en $(\Omega, \mathcal{ F })$ es una función

$$ ⁍ $$

que satisface

  1. $P(\varnothing ) = 0$

  2. $P(\Omega)=1$

  3. Si $\{ A _{ i } \} _{ i \in \mathbb{N}^{+} }$ es una sucesión de eventos en $\mathcal{ F }$, disjuntos dos a dos, entonces

    $$ ⁍ $$

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Las tres propiedades anteriores son llamadas Axiomas de Kolmogorov.

A la propiedad 3 se le llama $\sigma$-aditividad.

La propiedad 3 se reduce a decir que las medidas de probabilidad son $\sigma$-aditivas.

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Caracterización (Medida de probabilidad)

Cualquier función $P:\mathcal{ F } \to [0,1]$, con $\mathcal{ F }$ una $\sigma$-álgebra, que satisfaga los axiomas de Kolmogorov, es una medida de probabilidad.

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De la caracterización anterior se sigue que para demostrar que una función es una medida de probabilidad en un espacio medible, hay que probar que satisface los axiomas de Kolmogorov.

Las medidas de probabilidad son un caso particular de otras funciones llamadas medidas.

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Definición (Medida)

Sea $( \Omega ,\mathcal{ F })$ un espacio medible. Una medida en $( \Omega ,\mathcal{ F })$ es una función

$$ ⁍ $$

que satisface:

  1. $\mu(\varnothing) = 0$.
  2. $\mu$ es $\sigma$-aditiva. </aside>

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Definición (Espacio de probabilidad)

La $3$-tupla $(\Omega ,\mathcal{ F }, P)$, donde $(\Omega , \mathcal{ F })$ es un espacio medible y $P$ es una medida de probabilidad en $(\Omega , \mathcal{ F })$, es llamada espacio de probabilidad.

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A cada experimento aleatorio, $\xi$, podemos asociarle un espacio de probabilidad $(\Omega , \mathcal{ F }, P)$, si definimos apropiadamente una medida de probabilidad en $(\Omega , \mathcal{ F })$.

$$ ⁍ $$

Ejemplos