En la introducción vimos que, dado un experimento aleatorio, podemos asociarle un espacio medible. Para poder calcular probabilidades necesitamos un mapeo que a cada posible evento de interés le asigne un número

$$ \begin{aligned}P: \mathcal{ F } &\to \mathbb{R} \\ A &\mapsto P(A) \end{aligned} $$

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Convención (Probabilidad)

La probabilidad de "algo" es una medida de la frecuencia con la que ocurre ese "algo".

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Definición (Ensayo)

Considere un experimento aleatorio, $\xi$, con espacio medible asociado $(\Omega , \mathcal{ F })$. Un ensayo del experimento, $\xi$ es una realización del mismo, bajo condiciones controladas y de manera independiente a otras realizaciones del experimento.

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Ejemplos

• Sea $\xi$: "Lanzar una moneda".
• Considere el experimento $\xi:$ "Seleccionar una persona y registrar si bebe alcohol o no".

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Definición (Probabilidad frecuentista)

Sea $n_A$ el número de ocurrencias de un evento $A \in \mathcal{ F }$ en $n \in \mathbb{N} ^{+}$ ensayos de un experimento aleatorio $\xi$, con espacio medible asociado $(\Omega , \mathcal{ F })$. La probabilidad frecuentista, denotada por $P_{\text{freq}}$, es una función

$$ \begin{aligned} P_{\text{freq}}: \mathcal{ F } &\to [0,1] \\ A &\mapsto\lim_{ n \to \infty } \frac{ n_A }{ n } \end{aligned} $$

Al cociente $\frac{ n_A }{ n }=f_A$ se le llama frecuencia relativa del evento $A$.

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1. La existencia del límite se probará más adelante.
2. No es humanamente posible llevar a cabo una infinidad de ensayos de un experimento, como sugiere la definición, sin embargo, la frecuencia relativa aproxima bien a la probabilidad con $n$ suficientemente grande.

Ejemplos

• Considere $\xi$: "Lanzar una moneda".
• Considere $\xi$: "Lanzar una dado equilibrado" y $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$, $\mathcal{ F } = \mathcal{ P }(\Omega) = 2^{\Omega}$.

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Definición (Probabilidad clásica)

Sea $(\Omega , \mathcal{ F })$ un espacio medible con $card(\Omega )<\infty$, en el cual todos sus elementos tienen la misma probabilidad. Sea $A \in \mathcal{ F }$ un evento. La probabilidad clásica, denotada por $P_{\text{clas}}$, es una función

$$ \begin{aligned} P_{\text{clas}}: \mathcal{ F } &\to [0,1] \\ A &\mapsto \frac{ card(A) }{ card( \Omega )} \end{aligned} $$

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Ejemplos

• Sea $\xi$: "Lanzar un dado equilibrado". Entonces $\Omega =\{ 1,2,3,4,5,6 \}$.
• Considere $\xi$ : "Lanzar un dado equilibrado dos veces".

Probabilidad geométrica

La probabilidad geométrica, $P_{\text{geo}}$, es una extensión de la probabilidad clásica, en la cual la probabilidad de un evento, $A$, se calcula mediante la determinación de su longitud, área o volumen, según el problema que se trate.

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Definición (Probabilidad geométrica)

Sea $(\Omega, \mathcal{F})$ un espacio medible, donde $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{2}$, y $area(\Omega)$ está bien definida y es finita. Si el espacio muestral es equiprobable (en el sentido de que la probabilidad de observar la ocurrencia de un evento $A$ únicamente depende de su área y no del conjunto mismo), definimos la probabilidad geométrica, denotada por $P_{\text{geo}}$, como una función $P_{\text{geo}}:\mathcal{F}\to [0,1]$ tal que

$$ P_{\text{geo}}(A) = \frac{area(A)}{area(\Omega)} $$

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